试题

（2010·塘沽区一模）如图，折叠的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕．
（1）求证：△AFB∽△FEC；
（2）若折痕AE=5

5

，且tan∠EFC=

3

4

，求矩形ABCD的周长．

（1）证明：∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
又∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
又∠B=∠C=90°，
∴△AFB∽△FEC；

（2）Rt△FEC中，tan∠EFC=

3

4

，
∴

CE

CF

=

3

4

，
设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．
∴DC=8k，
又∵ABCD是矩形，
∴AB=8k，
Rt△AFB中，∠BAF=∠EFC，
∵tan∠BAF=

3

4

=

BF

AB

，
∴BF=6k，BC=10k
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=5

5

k，又AE=5

5

，
∴k=1，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36．
（1）证明：∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
又∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
又∠B=∠C=90°，
∴△AFB∽△FEC；

（2）Rt△FEC中，tan∠EFC=

3

4

，
∴

CE

CF

=

3

4

，
设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．
∴DC=8k，
又∵ABCD是矩形，
∴AB=8k，
Rt△AFB中，∠BAF=∠EFC，
∵tan∠BAF=

3

4

=

BF

AB

，
∴BF=6k，BC=10k
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=5

5

k，又AE=5

5

，
∴k=1，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36．