试题

（2010·闵行区二模）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，垂足为点O．过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B、P两点间的距离为x．
（1）如图2，如果四边形ABPQ是平行四边形，求x的值；
（2）过点Q作直线BC的垂线，垂足为点R，当x为何值时，△PQR∽△CBO？
（3）设△AOQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域．

解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，
∴OA=OC=

1

2

AC=3，
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP=

1

2

BC=2.5，
∴x=2.5；

（2）当x=0或5时，易得△PQR∽△CBO，
当x≠0或5时，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
当∠C=∠QPR时，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR=

QP·OB

BC

=

6×4

5

=

24

5

，
过点O作OK⊥BC，垂足为K，
∴

OK

QR

=

OP

QP

=

1

2

，
∴OK=

12

5

，
∴PK=

9

5

，
∴PC=

18

5

，
∴BP=

7

5

；
∴当x=0、5或

7

5

时，△PQR∽△CBO．

（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S_△AOQ=S_△COP=y，
∵OK=

12

5

，
∴y=S_△COP=

PC·OK

2

=

12 5 (5-x)

2

=6-

6

5

x（0≤x＜5）．
解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，
∴OA=OC=

1

2

AC=3，
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP=

1

2

BC=2.5，
∴x=2.5；

（2）当x=0或5时，易得△PQR∽△CBO，
当x≠0或5时，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
当∠C=∠QPR时，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR=

QP·OB

BC

=

6×4

5

=

24

5

，
过点O作OK⊥BC，垂足为K，
∴

OK

QR

=

OP

QP

=

1

2

，
∴OK=

12

5

，
∴PK=

9

5

，
∴PC=

18

5

，
∴BP=

7

5

；
∴当x=0、5或

7

5

时，△PQR∽△CBO．

（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S_△AOQ=S_△COP=y，
∵OK=

12

5

，
∴y=S_△COP=

PC·OK

2

=

12 5 (5-x)

2

=6-

6

5

x（0≤x＜5）．