试题

（2011·江门一模）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（不含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S．已知在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上．
（1）证明：△SBR∽△ABC；
（2）证明：ST=AP；
（3）设AB=1，PA=x，正方形PTEF的面积为y，试求y与x的函数关系，并求出x的取值范围．

（1）证明：∵PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，
∴∠BRS=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BRS=45°=∠C，∠B=∠B，
∴△SBR∽△ABC；

（2）证明：在△SPT和△AFP中，
∵TP=PF，
由（1）知：∠PST=∠FAP=90°，
又∵∠SPT+∠APF=∠APF+∠AFP=90°，
∴∠SPT=∠AFP，
∴△SPT≌△AFP，
∴ST=AP；

（3）解：∵AP=x，
∴BS=PS=

1-x

2

，
由（2）知：ST=AP=x，
∴正方形PTEF的面积y=PT²=PS²+ST²=（

1-x

2

）²+x²=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
由图知，ST≤SP，即x≤

1-x

2

，
∴x≤

1

3

，
∴x的取值范围是：0＜x≤

1

3

．
（1）证明：∵PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，
∴∠BRS=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BRS=45°=∠C，∠B=∠B，
∴△SBR∽△ABC；

（2）证明：在△SPT和△AFP中，
∵TP=PF，
由（1）知：∠PST=∠FAP=90°，
又∵∠SPT+∠APF=∠APF+∠AFP=90°，
∴∠SPT=∠AFP，
∴△SPT≌△AFP，
∴ST=AP；

（3）解：∵AP=x，
∴BS=PS=

1-x

2

，
由（2）知：ST=AP=x，
∴正方形PTEF的面积y=PT²=PS²+ST²=（

1-x

2

）²+x²=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
由图知，ST≤SP，即x≤

1-x

2

，
∴x≤

1

3

，
∴x的取值范围是：0＜x≤

1

3

．