题目：
（2011·广州一模）如图，已知矩形ABCD，AB=| 3 |
三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，先直接判断△APH与△CFH是如下关系中的哪一种：然后证明你的判断．
①△APH与△CFH全等；
②△APH与△CFH相似；
③△APH与△CFH成中心对称；
④△APH与△CFH成轴对称；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．
答案
解：（1）过P作PQ⊥BC于Q∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴PQ=AB=
| 3 |
∵△PEF是等边三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，sin60°=
| ||
| PF |
（2）判断：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）
（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1
证法一：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
| ||
| 3 |
∴∠1=30°，∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1
证法二：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
| ||
| 3 |
∴∠1=30°∵△PEF是等边三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴EG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴PG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
证法三：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
| ||
| 3 |
AC2=AB2+BC2，∴∠1=30°，AC=2
| 3 |
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴
| PH |
| EC |
| PG |
| EG |
| PH |
| 3-BE |
| 2-EG |
| EG |
①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴
| EG |
| AB |
| EC |
| AC |
| EG | ||
|
| 3-BE | ||
2
|
| 1 |
| 2 |
②把②代入①得，
| PH |
| 3-BE |
2-
| ||
|
解：（1）过P作PQ⊥BC于Q∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴PQ=AB=
| 3 |
∵△PEF是等边三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，sin60°=
| ||
| PF |
（2）判断：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）
（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1
证法一：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
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| 3 |
∴∠1=30°，∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1
证法二：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
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| 3 |
∴∠1=30°∵△PEF是等边三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴EG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴PG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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证法三：在Rt△ABC中，AB=
| 3 |
| AB |
| BC |
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| 3 |
AC2=AB2+BC2，∴∠1=30°，AC=2
| 3 |
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴
| PH |
| EC |
| PG |
| EG |
| PH |
| 3-BE |
| 2-EG |
| EG |
①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴
| EG |
| AB |
| EC |
| AC |
| EG | ||
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| 3-BE | ||
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②把②代入①得，
| PH |
| 3-BE |
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．3 4
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请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明．