试题

（2012·崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D点，∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．
（1）求证：AC·AF=AE·AD；
（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（3）若令线段DF的长为x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC·AF=AE·AD；

（2）解：线段DF=

1

2

BE．理由如下：
过E作EM⊥AB于M点，如图，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴

FD

EM

=

AD

AM

，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB为等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=

2

AD，EM=

2

2

BE，
∴FD=

2

2

BE·

2

2

=

1

2

BE；

（3）解：过F作FG⊥BC于点G，如图，
∵CD和AE为△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=

1

2

FG·BE=

1

2

x·2x=x²．
（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC·AF=AE·AD；

（2）解：线段DF=

1

2

BE．理由如下：
过E作EM⊥AB于M点，如图，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴

FD

EM

=

AD

AM

，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB为等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=

2

AD，EM=

2

2

BE，
∴FD=

2

2

BE·

2

2

=

1

2

BE；

（3）解：过F作FG⊥BC于点G，如图，
∵CD和AE为△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=

1

2

FG·BE=

1

2

x·2x=x²．