试题

题目：
青果学院（2011·闸北区一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：
FB
FD
=
FD
FC
．
答案
青果学院证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴ED=EA，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2，
∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FBD=∠FDC，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴
FB
FD
=
FD
FC
．
青果学院证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴ED=EA，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2，
∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FBD=∠FDC，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴
FB
FD
=
FD
FC
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
由CD⊥AB于，E是AC的中点，可得ED=EA，又由等边对等角，可得∠A=∠1，易得∠2=∠A，即可得到∠FBD=∠FDC，则可证得△FBD∽△FDC，根据相似三角形的对应边成比例，可证得
FB
FD
=
FD
FC
．
此题考查了相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质．解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想．
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