试题

（2011·永春县质检）如图1，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，点B落在边AD上的B′处（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
（1）直接写出正方形纸片ABCD的周长；
（2）如图2，过点N作NR⊥AB，垂足为R．连接BB′交MN于点Q．
①求证：△ABB′≌△RNM；
②设AB′=x，求出四边形MNC′B′的面积S与x的函数关系式，并求S的最小值．

解：（1）1+1+1+1=4．（3分）

（2）①则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，
∴MQ⊥BB′．（4分）
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，（5分）
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，（6分）
又RN=AB=1，（7分）
∴△RNM≌△ABB′．（8分）
②由①可知△MQB∽△B′AB，
∵

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

，（9分）
∵AB′=x则BB′=

1+x2

BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
MB′=BM=

1

2

(x2+1)，（10分）
CN=BR=BM-MR=

1

2

(x2+1)-x=

1

2

(x-1)2，（11分）
∵MB′∥NC′，
∴四边形MNC′B′是梯形，
∴S=

1

2

[

1

2

(x-1)2+

1

2

(x2+1)]×1=

1

2

(x2-x+1)，（12分）
由S=

1

2

(x2-x+1)=

1

2

(x-

1

2

)2+

3

8

，
得当x=

1

2

时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值为

3

8

．（13分）
解：（1）1+1+1+1=4．（3分）

（2）①则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，
∴MQ⊥BB′．（4分）
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，（5分）
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，（6分）
又RN=AB=1，（7分）
∴△RNM≌△ABB′．（8分）
②由①可知△MQB∽△B′AB，
∵

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

，（9分）
∵AB′=x则BB′=

1+x2

BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
MB′=BM=

1

2

(x2+1)，（10分）
CN=BR=BM-MR=

1

2

(x2+1)-x=

1

2

(x-1)2，（11分）
∵MB′∥NC′，
∴四边形MNC′B′是梯形，
∴S=

1

2

[

1

2

(x-1)2+

1

2

(x2+1)]×1=

1

2

(x2-x+1)，（12分）
由S=

1

2

(x2-x+1)=

1

2

(x-

1

2

)2+

3

8

，
得当x=

1

2

时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值为

3

8

．（13分）