试题

（2011·桐乡市二模）（1）尝试：如图，已知A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
求证：AE·BE=AD·BC．
（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．

（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

（1）证明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE·BE=AD·BC；

（2）证明：∵∠A=∠B=∠DEC，
∠A+∠D=∠1+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE·BE=AD·BC；

（3）解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC
∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，
∵AB=4，BC=9，点E为CD的中点，
∴CE=2，假设BP=x，
∴

4

9-x

=

x

2

，
∴x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8．
∴当BP为1或8时，点E为CD的中点．
（1）证明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE·BE=AD·BC；

（2）证明：∵∠A=∠B=∠DEC，
∠A+∠D=∠1+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE·BE=AD·BC；

（3）解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC
∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，
∵AB=4，BC=9，点E为CD的中点，
∴CE=2，假设BP=x，
∴

4

9-x

=

x

2

，
∴x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8．
∴当BP为1或8时，点E为CD的中点．