试题

题目：
（2011·通州区二模）如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P（x，y），且S△MPN=S△AEM+S△NFB．
（1）S△AOB
=
=
S矩形EOFP（填“＞”、“=”、“＜”），y与x的函数关系是
y=
1
2x
y=
1
2x
（不青果学院要求写自变量的取值范围）；
（2）当x=
2
2
时，求∠MON的度数；
（3）证明：∠MON的度数为定值．
答案
=

y=
1
2x

解：（1）∵S△MPN=S△AEM+S△NFB．
∴S△AOB=S矩形EOFP；（1分）
∵S△AOB=
1
2
OA·OB=
1
2
×1×1=
1
2
，
∴S矩形EOFP=
1
2
，
∴y与x的函数关系是y=
1
2x
；（2分）

（2）当x=
2
2
时，y=
1
2x
=
2
2
，∴点P的坐标为(
2
2
，
2
2
)．（3分）
可得四边形EOFP为正方形，过点O作OH⊥AB于H，青果学院
∵在Rt△AOB中，OA=OB=1，
∴AB=
OA2+OB2
=
2
，H为AB的中点，
∴OH=
AB
2
=
2
2
．
在Rt△EMO和Rt△HMO中，
EO=HO=
2
2
OM=OM

∴Rt△EMO≌Rt△HMO．
∴∠1=∠2．（4分）
同理可证∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°．
即∠MON=45°．（5分）

（3）过点O作OH⊥AB于H，
依题意，可得OE=y=
1
2x
，EM=1-y=1-
1
2x
，OH=
2
2
，HN=HB-NB=
2
2
-
2
(1-x)，
∴
EM
OE
=
HN
OH
，∠OEM=∠OHN=90°，
∴△EMO∽△HNO，
∴∠1=∠3．（6分）
同理可证∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°即∠MON=45°．（7分）
考点梳理
勾股定理；三角形的面积；直角三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）由于△AOB与矩形EOFP有公共部分五边形OEMNF，而不同的部分是△AEM、△BFN和△PMN，若比较△AOB和矩形EOFP的面积大小，只需比较不同部分的面积大小即可，由已知得S△MPN=S△AEM+S△NFB，故两者的面积相等；y与x的函数关系：可根据P点坐标，求出矩形EPFO的面积，根据△AOB和矩形的面积相等，即可得到关于x、y的函数关系式；
（2）将x的值代入题（1）所得的函数关系式中，即可得到y的值，也就确定了P点的坐标；过O作OH⊥AB于H，在等腰Rt△OAB中，通过解直角三角形，可求得AB、OH的长，此时发现OH=OE，则可证得Rt△EMO≌Rt△HMO，由此可得∠1=∠2，同理可证得∠3=∠4，由于∠EOF=90°，则∠2+∠3=∠MON=45°，由此得解．
（3）方法同（2）类似，可用P点的横坐标，分别表示出EM、HN的长，通过证△EMO∽△HNO，得到∠1=∠3，同理可通过证△MHO∽△NFO，得到∠2=∠4，而∠EOF=90°，即可得到∠MON=45°．
此题考查了矩形、等腰直角三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质；（2）（3）题中，通过辅助线来构造出与已知和所求相关的相似或全等三角形，是解答此题的关键．
综合题；数形结合．
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