试题

题目：
青果学院（2011·如皋市一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动正方形DEFG的顶点D，E分别在边AB，AC上的运动（D不与A，B重合），且边DE一直保持与边BC平行．
（1）求△ABC的面积；
（2）当边FG与边BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
答案
解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S△ABC=
1
2
×BC×AH=12；

（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）
∵△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AM
AH
，即
a
6
=
4-a
4
．
解得a=
12
5
．
故正方形DEFG的边长为
12
5
；
青果学院
（3）如图2，∵△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，即AD=2．
这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，即DE=
6
5
x．青果学院
∴y=DE2=(
6
5
x)2=
36
25
x2；
当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，
∴
BD
BA
=
DP
AH
，即
5-x
5
=
DP
4
．
∴DP=
4
5
（5-x）．
∴y=DE×DP=
6
5
x×
4
5
（5-x）=
24
5
x-
24
25
x2．
故所求函数关系式为y=
36
25
x2(0＜x≤2)
24
5
x-
24
25
x2(2＜x＜5).

解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S△ABC=
1
2
×BC×AH=12；

（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）
∵△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AM
AH
，即
a
6
=
4-a
4
．
解得a=
12
5
．
故正方形DEFG的边长为
12
5
；
青果学院
（3）如图2，∵△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，即AD=2．
这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，即DE=
6
5
x．青果学院
∴y=DE2=(
6
5
x)2=
36
25
x2；
当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，
∴
BD
BA
=
DP
AH
，即
5-x
5
=
DP
4
．
∴DP=
4
5
（5-x）．
∴y=DE×DP=
6
5
x×
4
5
（5-x）=
24
5
x-
24
25
x2．
故所求函数关系式为y=
36
25
x2(0＜x≤2)
24
5
x-
24
25
x2(2＜x＜5).
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面积公式即可求解．
（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得正方形DEFG的边长；
（3）如图2，根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AD，这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分别根据当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC和，当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，求y即可．
此题涉及到的知识点较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．
计算题．
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