试题

（2011·卢湾区一模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F．
（1）求证：△BCD∽△DAF；
（2）若BC=1，设CD=x，AF=y；
①求y关于x的函数解析式及定义域；
②当x为何值时，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

？

解：（1）证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴

BC

AD

=

CD

AF

，
∵BC=1，设CD=x，AF=y，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴

BE

BC

=

BF

BD

，
∴BE·BD=BF·BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF·BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∴BE2=BF=

7

9

，
∴AF=

2

9

，
∴x-x2=

2

9

，
解得x1=

2

3

，x2=

1

3

，
∴当x=

1

3

或

2

3

时，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．
解法二：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∵BC=1，BE=BD，
∴BD2=

7

9

．
过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠C=60°，
∴BH=

3

2

，
∴DH=

1

6

，CH=

1

2

，
当点D在线段CH上时，CD=CH-DH=

1

2

-

1

6

=

1

3

；
当点D在线段CH的延长线上时，CD=CH+DH=

1

2

+

1

6

=

2

3

，
综上所述，当x=

1

3

或

2

3

时，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．
解：（1）证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴

BC

AD

=

CD

AF

，
∵BC=1，设CD=x，AF=y，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴

BE

BC

=

BF

BD

，
∴BE·BD=BF·BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF·BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∴BE2=BF=

7

9

，
∴AF=

2

9

，
∴x-x2=

2

9

，
解得x1=

2

3

，x2=

1

3

，
∴当x=

1

3

或

2

3

时，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．
解法二：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∵BC=1，BE=BD，
∴BD2=

7

9

．
过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠C=60°，
∴BH=

3

2

，
∴DH=

1

6

，CH=

1

2

，
当点D在线段CH上时，CD=CH-DH=

1

2

-

1

6

=

1

3

；
当点D在线段CH的延长线上时，CD=CH+DH=

1

2

+

1

6

=

2

3

，
综上所述，当x=

1

3

或

2

3

时，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．