试题

题目：
青果学院（2012·闸北区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，与AC交于点E，AD2=BD·ED．
（1）求证：△ADE∽△BDA
（2）如果BA=10，BC=12，BD=15，求BE的长．
答案
解：（1）证明：∵AD2=BD·ED，
∴
AD
ED
=
BD
AD
，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BDA．

（2）∵△AED∽△BDA，
∴∠AED=∠BAD．
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC=∠BAD．
∵BD平分∠ABC，即∠EBC=∠ABD，
∴△EBC∽△ABD．
∴
BC
BD
=
BE
BA
．
∵BA=10，BC=12，BD=15，
∴
12
15
=
BE
10
，
∴BE=8．
解：（1）证明：∵AD2=BD·ED，
∴
AD
ED
=
BD
AD
，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BDA．

（2）∵△AED∽△BDA，
∴∠AED=∠BAD．
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC=∠BAD．
∵BD平分∠ABC，即∠EBC=∠ABD，
∴△EBC∽△ABD．
∴
BC
BD
=
BE
BA
．
∵BA=10，BC=12，BD=15，
∴
12
15
=
BE
10
，
∴BE=8．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据AD2=BD·ED得出
AD
ED
=
BD
AD
，再根据∠ADE=∠BDA，即可证出△AED∽△BDA．
（2）根据△AED∽△BDA，得出∠AED=∠BAD，再通过证明△EBC∽△ABD，得出
BC
BD
=
BE
BA
，再把BA、BC、BD的值代入即可求出BE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质；关键是综合利用三角形的判定与性质列出比例式求出线段的长．
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