试题

（2012·闸北区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC于点H，AC⊥AB，BD平分∠ABC，分别交AH、AC于点E、F．
（1）求证：AE=AF；
（2）设AB=m，求：sin∠BAH的值．

证明：（1）∵AC⊥AB，AH⊥BC于点H．
∴∠CAB=∠HAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△BAE和△DAF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABD=∠ADB

∴△BAE≌△DAF，
∴AE=AF． 

（2）设BH=x，
∵AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC，
∴四边形AHCD是矩形，
∴HC=AD，
∵AB=AD，AB=m，
∴HC=AB=m，
∵DC⊥BC，AH⊥BC，
∴∠BHA=∠BAC=90°，
∵∠HBA=∠ABC，
∴△HBA∽△ABC，
∴

BH

BA

=

BA

BC

，
∴

x

m

=

m

x+m

，即x²+mx-m²=0，
∴x=

-m± 5 m

2

=

-1± 5

2

m，
∵x＞0，
∴x=

-1+ 5

2

m，
在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

=

-1+ 5

2

；
证明：（1）∵AC⊥AB，AH⊥BC于点H．
∴∠CAB=∠HAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△BAE和△DAF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABD=∠ADB

∴△BAE≌△DAF，
∴AE=AF． 

（2）设BH=x，
∵AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC，
∴四边形AHCD是矩形，
∴HC=AD，
∵AB=AD，AB=m，
∴HC=AB=m，
∵DC⊥BC，AH⊥BC，
∴∠BHA=∠BAC=90°，
∵∠HBA=∠ABC，
∴△HBA∽△ABC，
∴

BH

BA

=

BA

BC

，
∴

x

m

=

m

x+m

，即x²+mx-m²=0，
∴x=

-m± 5 m

2

=

-1± 5

2

m，
∵x＞0，
∴x=

-1+ 5

2

m，
在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

=

-1+ 5

2

；