试题

（2012·思明区质检）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E在AC边上（不与端点重合）．
（1）若AB=BC，且BD=DE，求证：DE是△ABC的中位线；
（2）若DE=

1

2

BC，则结论“DE一定是△ABC的中位线”是否正确？若正确请证明；若不正确，请举出反例．

（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵点D是AB边的中点，
∴AD=BD，
又∵BD=DE，
∴AD=DE，
∴∠A=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

=

1

2

，
∴E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线；

（2）结论不正确．
反例如下：如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，点D是AB边的中点，点F为AC边的中点，
∴DE=

1

2

BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°，
在∠ADF内部作∠FDE=40°，交线段AF于点E，
∴∠DEF=70°，
∴DE=DF，
∴DE=

1

2

BC，但点E不是AC边的中点，
∴DE不是△ABC的中位线，
∴“当DE=

1

2

BC时，DE是△ABC的中位线”这个结论不正确．
（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵点D是AB边的中点，
∴AD=BD，
又∵BD=DE，
∴AD=DE，
∴∠A=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

=

1

2

，
∴E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线；

（2）结论不正确．
反例如下：如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，点D是AB边的中点，点F为AC边的中点，
∴DE=

1

2

BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°，
在∠ADF内部作∠FDE=40°，交线段AF于点E，
∴∠DEF=70°，
∴DE=DF，
∴DE=

1

2

BC，但点E不是AC边的中点，
∴DE不是△ABC的中位线，
∴“当DE=

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BC时，DE是△ABC的中位线”这个结论不正确．