试题

题目：
青果学院（2012·铁岭）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长．
答案
（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得
AB
BD
=
BE
BC
，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴
25
2BE
=
BE
32
，
∴BE=20，
∴AE=
AB2-BE2
=
252-202
=15．
（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得
AB
BD
=
BE
BC
，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴
25
2BE
=
BE
32
，
∴BE=20，
∴AE=
AB2-BE2
=
252-202
=15．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE．
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
压轴题．
找相似题