试题

（2003·河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB=4

5

，
（1）求证：CE=EF；
（2）求EG长．

（1）证明：∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE=∠FAE AE=AE ∠AEC=∠AEF=90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
即AC²=AE·AD，
∵AE·AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC=

AB2-AC2

=8，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

×8=4．
（1）证明：∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE=∠FAE AE=AE ∠AEC=∠AEF=90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
即AC²=AE·AD，
∵AE·AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC=

AB2-AC2

=8，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

×8=4．