试题

题目：
青果学院（1999·西安）如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．
求证：AG2=AF·FC．
答案
证明：∵E是CD中点，
∴DE=CE；
在△DEA和△CEB中，
AD=BC
∠D=∠BCE
DE=CE

∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE=BE；
∵GF∥AB，
∴
EG
AE
=
EF
BE
，即
AG
AE
=
BF
BE
，
∵AE=BE，则AG=BF；
在Rt△ABC中，BF⊥AC，则△ABF∽△BCF，
∴BF2=AF·FC，即AG2=AF·FC．
证明：∵E是CD中点，
∴DE=CE；
在△DEA和△CEB中，
AD=BC
∠D=∠BCE
DE=CE

∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE=BE；
∵GF∥AB，
∴
EG
AE
=
EF
BE
，即
AG
AE
=
BF
BE
，
∵AE=BE，则AG=BF；
在Rt△ABC中，BF⊥AC，则△ABF∽△BCF，
∴BF2=AF·FC，即AG2=AF·FC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定；矩形的性质．
在Rt△ABC中，BF⊥AC，根据射影定理可得BF2=AF·FC，所以只需证得BF=AG即可；由于E是CD中点，易证得△DAE≌△CBE，得AE=BE，由于GF∥AB，则△EGF也是等腰三角形，得EG=EF，进而可得AG=BF，由此得证．
此题主要考查的是全等三角形、相似三角形的判定和性质，能够发现AG、BF的等量关系是解答此题的关键．
证明题．
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