试题

（1996·山东）如图，在△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP面积的

2

3

？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴

h

4

=

6-x

6

，
∴h=

2

3

（6-x）
这样S₁=2x，S₃=

1

2

（6-x）·

2

3

6-x）=

1

3

（6-x）²，
S₂=12-2x-

1

3

（6-x）²，
即y=-

1

3

x2+2x，
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP=

1

2

BP·AE=

x

2

·4=2x，
若S△APD=

2

3

S△ABP则-

1

3

x2+2x=

2

3

·2x
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的

2

3

．
解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴

h

4

=

6-x

6

，
∴h=

2

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（6-x）
这样S₁=2x，S₃=

1

2

（6-x）·

2

3

6-x）=

1

3

（6-x）²，
S₂=12-2x-

1

3

（6-x）²，
即y=-

1

3

x2+2x，
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP=

1

2

BP·AE=

x

2

·4=2x，
若S△APD=

2

3

S△ABP则-

1

3

x2+2x=

2

3

·2x
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的

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