试题

（2010·芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．
（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴

AD

CA

=

AF

CE

；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC=

82+62

=10；
又F是AC的中点，∴AF=

1

2

AC=5；
∴

8

5

=

10

CE

，解得CE=

25

4

；
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=

25

2

；
∴直角梯形ABCD的面积=

1

2

×（

25

2

+8）×6=

123

2

．
（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴

AD

CA

=

AF

CE

；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC=

82+62

=10；
又F是AC的中点，∴AF=

1

2

AC=5；
∴

8

5

=

10

CE

，解得CE=

25

4

；
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=

25

2

；
∴直角梯形ABCD的面积=

1

2

×（

25

2

+8）×6=

123

2

．