试题

（2009·黔东南州）如图，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25．
（1）连接EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．
（2）求h的值．

（1）证明：连接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四边形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之间的距离为h，
∴S_△ABE=

1

2

BE·h，S_△FBE=

1

2

BE·h，
S_△EDF=

1

2

FD·h，S_△CDF=

1

2

FD·h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：过A点作AH⊥BE于H点，过E点作EM⊥FD于M点，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

25

4

，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相邻的两条平行直线间的距离为h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分别是AD与BC的中点，
∴AE=

1

2

AD=

5

2

，
∴在Rt△ABE中，
BE=

AB2+AE2

=

5 5

2

，（10分）
又∵AB·AE=BE·AH，
∴AH=

AB·AE

BE

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

．（12分）
方法二：不妨设BE=FD=x（x＞0），
则S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=

xh

2

，（6分）
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

1

2

xh=

25

4

，且AB=5，
则xh=

25

2

①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=

BE2-AB2

=

x2-52

，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴

AH

AB

=

AE

BE

，即

h

5

=

x2-52

x

，
变形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①两边平方后代入②得：

252

4

=25（x²-5²）③，
解方程③得x=

5 5

2

（x=-

5 5

2

舍去），
把x=

5 5

2

代入①得：h=

5

．（12分）
（1）证明：连接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四边形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之间的距离为h，
∴S_△ABE=

1

2

BE·h，S_△FBE=

1

2

BE·h，
S_△EDF=

1

2

FD·h，S_△CDF=

1

2

FD·h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：过A点作AH⊥BE于H点，过E点作EM⊥FD于M点，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

25

4

，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相邻的两条平行直线间的距离为h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分别是AD与BC的中点，
∴AE=

1

2

AD=

5

2

，
∴在Rt△ABE中，
BE=

AB2+AE2

=

5 5

2

，（10分）
又∵AB·AE=BE·AH，
∴AH=

AB·AE

BE

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

．（12分）
方法二：不妨设BE=FD=x（x＞0），
则S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=

xh

2

，（6分）
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

1

2

xh=

25

4

，且AB=5，
则xh=

25

2

①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=

BE2-AB2

=

x2-52

，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴

AH

AB

=

AE

BE

，即

h

5

=

x2-52

x

，
变形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①两边平方后代入②得：

252

4

=25（x²-5²）③，
解方程③得x=

5 5

2

（x=-

5 5

2

舍去），
把x=

5 5

2

代入①得：h=

5

．（12分）