试题

（2009·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．

解：
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点G，使AG=BE，
∵正方形OACB，OA=OB，
∴OG=OE．
∴∠EGO=∠GEO=

1

2

（180°-90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，
∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵

∠EAO=∠FEB BE=AG ∠AGE=∠EBF

∴△AGE≌△EBF，
EF=AE．

（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且

AO

EH

=

OE

FH

，即

n

h+m-a

=

a

h

，
整理得nh=ah+am-a²，
∴h=

am-a2

n-a

=

a(m-a)

n-a

．
把h=（t+1）a代入得

a(m-a)

n-a

=（t+1）a，
即m-a=（t+1）（n-a）．
而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）．
化简得ta=n，解得a=

n

t

．
∵t＞1，
∴

n

t

＜n＜m，
故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为

n

t

处时满足条件，此时E（

n

t

，0）．
解：
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点G，使AG=BE，
∵正方形OACB，OA=OB，
∴OG=OE．
∴∠EGO=∠GEO=

1

2

（180°-90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，
∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵

∠EAO=∠FEB BE=AG ∠AGE=∠EBF

∴△AGE≌△EBF，
EF=AE．

（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且

AO

EH

=

OE

FH

，即

n

h+m-a

=

a

h

，
整理得nh=ah+am-a²，
∴h=

am-a2

n-a

=

a(m-a)

n-a

．
把h=（t+1）a代入得

a(m-a)

n-a

=（t+1）a，
即m-a=（t+1）（n-a）．
而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）．
化简得ta=n，解得a=

n

t

．
∵t＞1，
∴

n

t

＜n＜m，
故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为

n

t

处时满足条件，此时E（

n

t

，0）．