试题

（2007·吉林）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由题意，得∠GAH=

1

2

∠DAC，∠ECF=

1

2

∠BCA．
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．

（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∵CF=CB=3，
∴AF=2．
在Rt△AEF中，
设EF=x，则AE=4-x．
根据勾股定理，得AE²=AF²+EF²，
即（4-x）²=2²+x²．
解得x=

3

2

，即线段EF长为

3

2

cm．
解法2：
∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴

EF

CB

=

AE

AC

．
∴

x

3

=

4-x

5

，
解得x=

3

2

，即线段EF长为

3

2

cm．
（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由题意，得∠GAH=

1

2

∠DAC，∠ECF=

1

2

∠BCA．
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．

（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∵CF=CB=3，
∴AF=2．
在Rt△AEF中，
设EF=x，则AE=4-x．
根据勾股定理，得AE²=AF²+EF²，
即（4-x）²=2²+x²．
解得x=

3

2

，即线段EF长为

3

2

cm．
解法2：
∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴

EF

CB

=

AE

AC

．
∴

x

3

=

4-x

5

，
解得x=

3

2

，即线段EF长为

3

2

cm．