试题

（2006·汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题

解：（1）如图1，连接DF．
因为点E为CD的中点，所以

EC

AB

=

EC

DC

=

1

2

．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以

S△CEF

S△ABF

=

1

4

．（2分）
因为S_△DEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△ADF，（2分）
所以

S△ABF

S四边形ADEF

=

S△ABF

S△ADF+S△DEF

=

4

5

．（4分）

（2）如图2，连接DF．
与（1）同理可知

S△CEF

S△ABF

=

4

9

，S△DEF=

1

2

S△CEF，
S_△ABF=S_△ADF，
所以

S△ABF

S四边形ADEF

=

S△ABF

S△DEF+S△ADF

=

9

11

．（8分）

（3）当CE：ED=3：1时，

S△ABF

S四边形ADEF

=

16

19

．（9分）
当CE：ED=n：1时，

S△ABF

S四边形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

=

n2+2n+1

n2+3n+1

．（12分）

（4）提问举例：
①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．
评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过12分．
解：（1）如图1，连接DF．
因为点E为CD的中点，所以

EC

AB

=

EC

DC

=

1

2

．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以

S△CEF

S△ABF

=

1

4

．（2分）
因为S_△DEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△ADF，（2分）
所以

S△ABF

S四边形ADEF

=

S△ABF

S△ADF+S△DEF

=

4

5

．（4分）

（2）如图2，连接DF．
与（1）同理可知

S△CEF

S△ABF

=

4

9

，S△DEF=

1

2

S△CEF，
S_△ABF=S_△ADF，
所以

S△ABF

S四边形ADEF

=

S△ABF

S△DEF+S△ADF

=

9

11

．（8分）

（3）当CE：ED=3：1时，

S△ABF

S四边形ADEF

=

16

19

．（9分）
当CE：ED=n：1时，

S△ABF

S四边形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

=

n2+2n+1

n2+3n+1

．（12分）

（4）提问举例：
①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．
评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过12分．