试题

题目：
（2008·厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，青果学院对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2
3
，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直线OD所对应的函数关系式；
（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
答案
解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2
3
，
∴OB=4，
∵
BM
OM
=
1
2
，
∴
4-OM
OM
=
1
2
，
∴OM=
8
3
．

（2）由（1）得：OM=
8
3
，
∴BM=
4
3
，
∵DB∥OA，易证
DB
OA
=
BM
OM
=
1
2
，
∴DB=1，D（1，2
3
），
∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2
3
x．

（3）依题意：当0＜t≤
8
3
时，E在OD边上，
分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
∵tan∠PON=
2
3
2
=
3
，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=
1
2
t，PN=
3
2
t，
∵直线OD所对应的函数关系式是y=2
3
x，青果学院
设E（n，2
3
n）易证得△APN∽△AEF，
∴
PN
EF
=
AN
AF
，
∴
3
2
t
2
3
n
=
2-
1
2
t
2-n
，
整理得：
t
2n
=
4-t
2-n
，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=
2t
8-t
．
由此，S△OAE=
1
2
OA·EF=
1
2
×2×2
3
×
2t
8-t
，
∴S=
4
3
t
8-t
（0＜t≤
8
3
），
当
8
3
＜t＜4时，点E在BD边上，
此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
∵DB∥OA，
易证：△EPB∽△APO，
∴
BE
OA
=
BP
OP
，
∴
BE
2
=
4-t
t
，
BE=
2(4-t)
t
，
S△ABE=
1
2
BE·AB=
1
2
×
2(4-t)
t
×2
3
=
4-t
t
×2
3
=
2
3
(4-t)
t
=
8
3
-2
3
t
t
，
∴S=
1
2
（1+2）×2
3
-
4-t
t
×2
3
=3
3
-
4-t
t
×2
3
=-
8
3
t
+5
3
，
综上所述：S=
4
3
t
8-t
0＜t≤
8
3
-
8
3
t
+5
3
8
3
＜t＜4
．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2
3
，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=
1
2
t，PN=
3
2
t，
即：P（
1
2
t，
3
2
t），又（2，0），
设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，
则
1
2
tk+b=
3
2
t
2k+b=0
，
解得：k=-
3
t
4-t
，b=
2
3
t
4-t
，
∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=-
3
t
4-t
x+
2
3
t
4-t
．
依题意：当0＜t≤
8
3
时，在OD边上，
∴E（n，2
3
n），在直线AP上，
∴-
3
t
4-t
n+
2
3
t
4-t
=2
3
n，
整理得：
tn
t-4
-
2t
t-4
=2n，
∴n=
2t
8-t
，
∴S=
4
3
t
8-t
（0＜t≤
8
3
），
当
8
3
＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2
3
），因为E在直线AP上，
∴-
3
t
4-t
n+
2
3
t
4-t
=2
3
，
整理得：
tn
t-4
+
2t
t-4
=2∴8n-nt=2t，
∴n=
4t-8
t
，
BE=2-n=2-
4t-8
t
=
2(4-t)
t
，
∴S=
1
2
（1+2）×2
3
-
4-t
t
×2
3
=3
3
-
4-t
t
×2
3
=-
8
3
t
+5
3
，
综上所述：S=
4
3
t
8-t
(0＜t≤
8
3
)
-
8
3
t
+5
3
(
8
3
＜t＜4)
．
解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2
3
，
∴OB=4，
∵
BM
OM
=
1
2
，
∴
4-OM
OM
=
1
2
，
∴OM=
8
3
．

（2）由（1）得：OM=
8
3
，
∴BM=
4
3
，
∵DB∥OA，易证
DB
OA
=
BM
OM
=
1
2
，
∴DB=1，D（1，2
3
），
∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2
3
x．

（3）依题意：当0＜t≤
8
3
时，E在OD边上，
分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
∵tan∠PON=
2
3
2
=
3
，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=
1
2
t，PN=
3
2
t，
∵直线OD所对应的函数关系式是y=2
3
x，青果学院
设E（n，2
3
n）易证得△APN∽△AEF，
∴
PN
EF
=
AN
AF
，
∴
3
2
t
2
3
n
=
2-
1
2
t
2-n
，
整理得：
t
2n
=
4-t
2-n
，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=
2t
8-t
．
由此，S△OAE=
1
2
OA·EF=
1
2
×2×2
3
×
2t
8-t
，
∴S=
4
3
t
8-t
（0＜t≤
8
3
），
当
8
3
＜t＜4时，点E在BD边上，
此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
∵DB∥OA，
易证：△EPB∽△APO，
∴
BE
OA
=
BP
OP
，
∴
BE
2
=
4-t
t
，
BE=
2(4-t)
t
，
S△ABE=
1
2
BE·AB=
1
2
×
2(4-t)
t
×2
3
=
4-t
t
×2
3
=
2
3
(4-t)
t
=
8
3
-2
3
t
t
，
∴S=
1
2
（1+2）×2
3
-
4-t
t
×2
3
=3
3
-
4-t
t
×2
3
=-
8
3
t
+5
3
，
综上所述：S=
4
3
t
8-t
0＜t≤
8
3
-
8
3
t
+5
3
8
3
＜t＜4
．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2
3
，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=
1
2
t，PN=
3
2
t，
即：P（
1
2
t，
3
2
t），又（2，0），
设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，
则
1
2
tk+b=
3
2
t
2k+b=0
，
解得：k=-
3
t
4-t
，b=
2
3
t
4-t
，
∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=-
3
t
4-t
x+
2
3
t
4-t
．
依题意：当0＜t≤
8
3
时，在OD边上，
∴E（n，2
3
n），在直线AP上，
∴-
3
t
4-t
n+
2
3
t
4-t
=2
3
n，
整理得：
tn
t-4
-
2t
t-4
=2n，
∴n=
2t
8-t
，
∴S=
4
3
t
8-t
（0＜t≤
8
3
），
当
8
3
＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2
3
），因为E在直线AP上，
∴-
3
t
4-t
n+
2
3
t
4-t
=2
3
，
整理得：
tn
t-4
+
2t
t-4
=2∴8n-nt=2t，
∴n=
4t-8
t
，
BE=2-n=2-
4t-8
t
=
2(4-t)
t
，
∴S=
1
2
（1+2）×2
3
-
4-t
t
×2
3
=3
3
-
4-t
t
×2
3
=-
8
3
t
+5
3
，
综上所述：S=
4
3
t
8-t
(0＜t≤
8
3
)
-
8
3
t
+5
3
(
8
3
＜t＜4)
．
考点梳理
一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．
（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2
3
，所以OB=4；
因为
BM
OM
=
1
2
，所以
4-OM
OM
=
1
2
，OM=
8
3
．
（2）由（1）得：OM=
8
3
，即BM=
4
3
．由于DB∥OA，易证
DB
OA
=
BM
OM
=
1
2
，故DB=1，D（1，2
3
）．故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2
3
x．
（3）依题意：当0＜t≤
8
3
时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON=
2
3
2
=
3
，故∠PON=60°，OP=t，故ON=
1
2
t，PN=
3
2
t，直线OD所对应的函数关系式是y=2
3
x，
设E（n，2
3n
）易证得△APN∽△AEF，故
PN
EF
=
AN
AF
，故n=
2t
8-t
，由此，S△OAE=
1
2
OA·EF=
1
2
×2×2
3
×
2t
8-t
，
∴S=
4
3
t
8-t
（0＜t≤
8
3
）；
当
8
3
＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO，
∴
BE
OA
=
BP
OP
，
∴
BE
2
=
4-t
t
，BE=
2(4-t)
t
，
可分别求出三角形的值．
本题比较复杂，难度较大，把一次函数的解析式与解直角三角形，三角形相似的性质结合起来，锻炼了学生对所学知识的应用能力．
综合题；压轴题．
找相似题