试题

题目：
（2008·衡阳）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），E为线段AD上的一个动点（点E不与A，D两点重合），连接FC，过E点青果学院作EF⊥EC交AB于F，连接FC．
（1）△AEF与△DCE是否相似？并说明理由；
（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．
答案
解：（1）∵∠FEC=90°∴∠AEF+∠DEC=90°，
而ABCD是矩形，∴∠AFE+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠AFE，
又∵∠A=∠D，∴△AEF∽△DCE．

（2）∵EF平分∠AFC，∴∠AFE=∠EFC，∴tan∠CFE=
CE
EF
，
同理可得，tan∠AFE=
AE
AF
，∴
AE
AF
=
CE
EF
，
又∵△AEF∽△DCE，∴
DE
AF
=
CE
EF
，∴
AE
AF
=
DE
AF

∴AE=DE，∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．
解：（1）∵∠FEC=90°∴∠AEF+∠DEC=90°，
而ABCD是矩形，∴∠AFE+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠AFE，
又∵∠A=∠D，∴△AEF∽△DCE．

（2）∵EF平分∠AFC，∴∠AFE=∠EFC，∴tan∠CFE=
CE
EF
，
同理可得，tan∠AFE=
AE
AF
，∴
AE
AF
=
CE
EF
，
又∵△AEF∽△DCE，∴
DE
AF
=
CE
EF
，∴
AE
AF
=
DE
AF

∴AE=DE，∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．
考点梳理
矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）相似．用∠FEC=90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．
（2）有EF平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么两角在各自直角三角形里的正切值相等，可
AE
AF
=
CE
EF
，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例线段：
DE
AF
=
CE
EF
，两式联合可得，
AE
AF
=
DE
AF
，就有AE=DE，即E是AD中点时，EF平分∠AFC．
本题利用了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等等知识．
动点型．
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