试题

（2011·德宏州）如图，已知直线y=ax+b（a≠0）与双曲线y=

k

x

（k≠0）交于A、B两点，且点A（2，1），点B的纵坐标为2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）求线段AB的长；
（4）问在双曲线上是否存在点C，使△ABC的面积等于3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由（结果不需要分母有理化）

解：（1）根据题意知，点A（2，1）在双曲线y=

k

x

（k≠0）上，则k=xy=2×1=2，
所以双曲线的解析式为y=

2

x

；

（2）根据题意知，点B在双曲线y=

2

x

上，且点B的纵坐标是2．故设B（x，2）．则
2=

2

x

，
解得，x=1，
故点B的坐标是（1，2）．
∵点A、B都在直线y=ax+b（a≠0）上，
∴

1=2a+b 2=a+b

，
解得，

a=-1 b=3

，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（3）∵A（2，1），B（1，2），
∴AB=

(1-2)2+(2-1)2

=

2

，即线段AB的长度是

2

；

（4）存在，理由如下：
如图，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D；过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB=

2

，S_△ABC=3，
∴

1

2

AB·CH=3，即

1

2

×

2

=3，
∴CH=3

2

．
设C（x，

2

x

），则D（3-

2

x

，

2

x

）．
∴|CD|=|3-

2

x

-x|．
在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3

2

，则CD=6，
得方程|3-

2

x

-x|=6．
①当3-

2

x

-x=6时，解得，x₁=-1，x₂=-2，
∴点C的坐标是（-1，-2），（-2，-1）；
②当3-

2

x

-x=-6时，解得x₁=

9+ 73

2

，x₂=

9- 73

2

，
∴点C的坐标是（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）；
综上所述，符号条件的点C有4个，即（-1，-2），（-2，-1），（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）．
解：（1）根据题意知，点A（2，1）在双曲线y=

k

x

（k≠0）上，则k=xy=2×1=2，
所以双曲线的解析式为y=

2

x

；

（2）根据题意知，点B在双曲线y=

2

x

上，且点B的纵坐标是2．故设B（x，2）．则
2=

2

x

，
解得，x=1，
故点B的坐标是（1，2）．
∵点A、B都在直线y=ax+b（a≠0）上，
∴

1=2a+b 2=a+b

，
解得，

a=-1 b=3

，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（3）∵A（2，1），B（1，2），
∴AB=

(1-2)2+(2-1)2

=

2

，即线段AB的长度是

2

；

（4）存在，理由如下：
如图，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D；过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB=

2

，S_△ABC=3，
∴

1

2

AB·CH=3，即

1

2

×

2

=3，
∴CH=3

2

．
设C（x，

2

x

），则D（3-

2

x

，

2

x

）．
∴|CD|=|3-

2

x

-x|．
在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3

2

，则CD=6，
得方程|3-

2

x

-x|=6．
①当3-

2

x

-x=6时，解得，x₁=-1，x₂=-2，
∴点C的坐标是（-1，-2），（-2，-1）；
②当3-

2

x

-x=-6时，解得x₁=

9+ 73

2

，x₂=

9- 73

2

，
∴点C的坐标是（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）；
综上所述，符号条件的点C有4个，即（-1，-2），（-2，-1），（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）．