试题

请你利用直角坐标平面上任意两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）间的距离公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

解答下列问题：
已知：反比例函数y=

2

x

与正比例函数y=x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直线y=x上．设点P（x₀，y₀）是反比例函数y=

2

x

图象上的任意一点，记点P与F₁、F₂两点的距离之差d=|P_^F1-P_^F2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．

解：解由y=

2

x

和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），线段AB的长度=4（2分）
∵点P（x₀，y₀）是反比例函数y=

2

x

图象上一点，
∴y₀=

2

x0

∴PF₁=

(x0+2)2+( 2 xo +2)2

=

(x0+ 2 x0 +2)2

=|

(x0+1)2+1

x0

|，
PF₂=

(x0-2)2+( 2 xo -2)2

=

(x0+ 2 x0 -2)2

=|

(x0-1)2+1

x0

|，（3分）
∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

x0

|-|

(x0-1)2+1

x0

||，
当x₀＞0时，d=4；当x₀＜0时，d=4．（3分）
因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．（2分）
由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2分）
解：解由y=

2

x

和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），线段AB的长度=4（2分）
∵点P（x₀，y₀）是反比例函数y=

2

x

图象上一点，
∴y₀=

2

x0

∴PF₁=

(x0+2)2+( 2 xo +2)2

=

(x0+ 2 x0 +2)2

=|

(x0+1)2+1

x0

|，
PF₂=

(x0-2)2+( 2 xo -2)2

=

(x0+ 2 x0 -2)2

=|

(x0-1)2+1

x0

|，（3分）
∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

x0

|-|

(x0-1)2+1

x0

||，
当x₀＞0时，d=4；当x₀＜0时，d=4．（3分）
因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．（2分）
由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2分）