试题

题目：
（2009·安徽）观察下列等式：1×
1
2
=1-
1
2
，2×
2
3
=2-
2
3
，3×
3
4
=3-
3
4
，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．
答案
解：（1）猜想：n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；

（2）证：右边=
n2+n-n
n+1
=
n2
n+1
=左边，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
．
解：（1）猜想：n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；

（2）证：右边=
n2+n-n
n+1
=
n2
n+1
=左边，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；
（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．
主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想．
证明题；探究型．
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