试题

题目：
有理数a≠1，我们把
1
1-a
称为a的差倒数，如：t的差倒数是
1
1-t
=-1，-1的差倒数是
1
1-(-1)
=
1
t
．如果a1=3，at是a1的差倒数，a3是at的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么at=
-
1
t
-
1
t
，a3=
t
3
t
3
，at01t=
-
1
t
-
1
t
．
答案
-
1
t

t
3

-
1
t

解：∵a1=3，
a2=
1
1-a1
=
1
1-3
=-
1
2
，
a3=
1
1-a2
=
1
1-(-
1
2
)
=
2
3
，
a4=
1
1-a3
=
1
1-
2
3
=3，
而2012=670×3+2，
∴a2012=a2=-
1
2
．
故答案为：-
1
2
；
2
3
；-
1
2
．
考点梳理
规律型：数字的变化类；倒数．
根据差倒数的定义分别计算出a2=
1
1-a1
=
1
1-3
=-
1
2
，a3=
1
1-a2
=
1
1-(-
1
2
)
=
2
3
，a4=
1
1-a3
=
1
1-
2
3
=3，又从3开始重复进行计算，即每三个数一循环，而2012=670×3+2，于是得到a2012=a2=-
1
2
．
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
规律型．
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