试题

题目：
已知
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…你能总结出
1
n(n+1)
等于什么吗？（其中n为正整数）
根据找到的规律计算：
（1）
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
；（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+
1
7×9
+
1
9×11
．
答案
解：（1）∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∵
1
1×1
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+
1
7×9
+
1
9×11

=
1
2
×（1-
1
3
）+
1
2
×（
1
3
-
1
5
）+
1
2
×（
1
5
-
1
7
）+
1
2
×（
1
7
-
1
9
）+
1
2
×（
1
9
-
1
11
）
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-…-
1
11
）
=
5
11
．
解：（1）∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∵
1
1×1
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+
1
7×9
+
1
9×11

=
1
2
×（1-
1
3
）+
1
2
×（
1
3
-
1
5
）+
1
2
×（
1
5
-
1
7
）+
1
2
×（
1
7
-
1
9
）+
1
2
×（
1
9
-
1
11
）
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-…-
1
11
）
=
5
11
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
由已知的式子，我们就可以看出当第n项时，就应该是
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，然后根据此规律进行解答即可．
本题的关键是找出式子的规律．然后用得出的规律得出所求的值．
动点型．
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