试题

你能比较两个数2006²⁰⁰⁷和2007²⁰⁰⁶的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整数）．然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算：比较①～⑦各组两个数的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”）
①1²2¹；②2³3²；③3⁴4³；④4⁵5⁴；⑤5⁶6⁵；
⑥6⁷7⁶；⑦7⁸8⁷；
（2）从上面各小题目的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是nⁿ⁺¹（n+1）ⁿ
（3）根据上面归纳猜想到的结论，可以得到2006²⁰⁰⁷2007²⁰⁰⁶（填“＞”“=”“＜”）

解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6 ⁵⑥6⁷＞7⁶；⑦7⁸＞8⁷；

（2）当n=1或n=2时，n ⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．