试题

题目：
青果学院古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”
15
15
与
21
21
之和；“正方形数”n2可以写成两个相邻的“三角形数”
n(n-1)
2
n(n-1)
2
与
n(n+1)
2
n(n+1)
2
之和，其中n为大于1的正整数．
答案
15

21

n(n-1)
2

n(n+1)
2

解：∵4=22=1+2+1，
9=32=1+2+3+2+1，
16=42=1+2+3+4+3+2+1，
∴36=62=1+2+3+4+5+6+5+4+3+3+2+1=15+21；
n2=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1
=[1+2+3+4+…+（n-1）]+[n+（n-1）+（n-2）+…+1]
=
n(n-1)
2
+
n(n+1)
2
．
故答案为：15，21；
n(n-1)
2
，
n(n+1)
2
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
观察图象中点的个数的规律有4=22=1+2+1，9=32=1+2+3+2+1，16=42=1+2+3+4+3+2+1，则按照此规律得到36=62=（1+2+3+4+5）+（6+5+4+3+3+2+1），n2=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1=[1+2+3+4+…+（n-1）]+[n+（n-1）+（n-2）+…+1，然后求和即可．
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
规律型．
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