试题

题目：
已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，…，依据上述规律，则a9=
a9=
1
9×10×11
+
1
10
=
10
99
a9=
1
9×10×11
+
1
10
=
10
99
．
答案
a9=
1
9×10×11
+
1
10
=
10
99

解：由已知通过观察得：
a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，即a1=
1
1×2×3
+
1
1+1
=
1+1
1×(1+2)
；
a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，即a2=
1
2×3×4
+
1
1+2
=
1+2
2×(2+2)
；
a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，即a3=
1
3×4×5
+
1
1+3
=
1+3
3×(3+2)
；
…，
∴an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
1+n
=
1+n
n(n+2)
，
所以a9=
1
9×10×11
+
1
1+9
=
1+9
9×(9+2)
，
即a9=
1
9×10×11
+
1
10
=
10
99
，
故答案为：a9=
1
9×10×11
+
1
10
=
10
99
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
通过观察，可得到规律：an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
1+n
=
1+n
n(n+2)
，据此得出a9．
此题考查的知识点是数字变化类问题，也是考查学生分析归纳问题的能力，解答此题的关键是由已知找出规律：
an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
1+n
=
1+n
n(n+2)
．
规律型．
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