试题

观察等式找规律，灵活运用巧计算．
①2²-1²=（2-1）（a+1）；
②3²-1²=（3+b）（3+1）；
③4²-1²=（c-1）（4+1）；
…
（1）求出等式中的a、b、c；
（2）根据你发现的规律，直接写出第n个等式（用含有n的等式表示）；
（3）运用你发现的规律求(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20122

)(1-

1

20132

)的值．

解：（1）∵2²-1²=（2-1）（a+1），
∴3=a+1，
∴a=2；
∵3²-1²=（3+b）（3+1），
∴2=3+b．
∴b=-1；
∵4²-1²=（c-1）（4+1），
∴3=c-1，
∴c=4；
（2）根据（1）可得：
（n+1）²-1²=[（n+1）-1][（n+1）+1]．
（3）原式=（

22-1

22

）（

32-1

32

）（

42-1

42

）…（

20122-1

20122

）（

20132-1

20132

）=

(2-1)(2+1)

22

×

(3-1)(3+1)

32

×

(4-1)(4+1)

42

×…×

(2012-1)(2012+1)

20122

×

(2013-1)(2013+1)

20132

=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

2011×2013

20122

×

2012×2014

20132

=

1

2

×

2014

2013

=

1007

2013

．
解：（1）∵2²-1²=（2-1）（a+1），
∴3=a+1，
∴a=2；
∵3²-1²=（3+b）（3+1），
∴2=3+b．
∴b=-1；
∵4²-1²=（c-1）（4+1），
∴3=c-1，
∴c=4；
（2）根据（1）可得：
（n+1）²-1²=[（n+1）-1][（n+1）+1]．
（3）原式=（

22-1

22

）（

32-1

32

）（

42-1

42

）…（

20122-1

20122

）（

20132-1

20132

）=

(2-1)(2+1)

22

×

(3-1)(3+1)

32

×

(4-1)(4+1)

42

×…×

(2012-1)(2012+1)

20122

×

(2013-1)(2013+1)

20132

=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

2011×2013

20122

×

2012×2014

20132

=

1

2

×

2014

2013

=

1007

2013

．