试题

题目：
（2012·通辽）观察下列等式：
1×2=
1
3
×（1×2×3-0×1×2）
2×3=
1
3
×（2×3×4-1×2×3）
3×4=
1
3
×（3×4×5-2×3×4）
…
计算：3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）]=
n（n+1）（n+2）
n（n+1）（n+2）
．
答案
n（n+1）（n+2）

解：∵1×2=
1
3
×（1×2×3-0×1×2）
2×3=
1
3
×（2×3×4-1×2×3），
3×4=
1
3
×（3×4×5-2×3×4），
…，
∴n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）]
=3×
1
3
[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=n（n+1）（n+2）．
故答案为：n（n+1）（n+2）．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
观察不难发现，两个数的积等于这两个数乘以后面的数减去这两个数乘以前面的数，然后乘以
1
3
，把括号内的积都写成两个积的差的
1
3
的形式，然后相加互相抵消即可得解．
本题是对数字变化规律的考查，读懂题意，把两个数的积转互为两个积的差的
1
3
是解题的关键．
压轴题；规律型．
找相似题