试题

题目：
猜想、探索规律
（1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．
201
201
粒；
（2）已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，…，依据上述规律，则a99=
100
9999
100
9999
；
（3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由
304
304
个基础图形组成；
青果学院
（4）观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，根据观察计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
．
答案
201

100
9999

304

解：（1）第1组3=2×1+1，
第2组5=2×2+1，
第3组7=2×3+1，
…
第n组有2n+1粒，
所以第100组应该有种子2×100+1=201粒．

（2）由a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
1×3
=
2
3
，
a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
2×4
=
3
8
，
a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
3×5
=
4
15
，
…
所以a99=
1
99×100×101
+
1
100
=
100
99×101
=
100
9999
；

（3）第1个图案由4=4×1-（1-1）=3+1个基础图形组成，
第2个图案由7=4×2-（2-1）=3×2+1个基础图形组成，
第3个图案由10=4×3-（3-1）=3×3+1个基础图形组成，
…，
那么第101个图案中由3×101+1=304个基础图形组成；

（4）把
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…代入得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2008
-
1
2009

=1-
1
2009

=
2008
2009
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…第n组取（2n-1）粒解决问题；
（2）所有第一个加数分子是1，分母是三个连续自然数的乘积，第二个加数分子是1，分母是三个连续自然数中间的数，和的分母是三个连续自℃然数两端数的乘积，分子是三个连续自然数中间的数，因此可求得a99．
（3）第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，第n个图案由（3n+1）个基础图形组成，由此解决问题；
（4）由
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…
1
n(n+1)
=
1
n
- 
1
n+1
，代入可解决问题．
抓住式子的变化规律或数的变化规律，就可以解决问题．
规律型．
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