试题

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点F，交⊙O于点D，连接AD、CD，∠E=∠ADC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tanA=

2

3

，求⊙O的半径．

（1）证明：∵OD⊥BC
∴∠E+∠FBE=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠ADC=∠E，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ABC+∠FBE=90°，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，
∵半径OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BCD=∠CBD，
∵∠A=∠BCD，
∴∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

2

3

，
∵FC=BF=3，
∴DF=2，
在Rt△CFD中：设半径OB=x，OF=x-2，
∴x²=3²+（x-2）²，
解得：x=

13

4

，
∴⊙O的半径为

13

4

．
（1）证明：∵OD⊥BC
∴∠E+∠FBE=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠ADC=∠E，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ABC+∠FBE=90°，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，
∵半径OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BCD=∠CBD，
∵∠A=∠BCD，
∴∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

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，
∵FC=BF=3，
∴DF=2，
在Rt△CFD中：设半径OB=x，OF=x-2，
∴x²=3²+（x-2）²，
解得：x=

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，
∴⊙O的半径为

13

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．