试题

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．

（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为4，AB=AC，
∴AC=AB=4+4=8，
∵BE=2，
∴AE=8-2=6，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠DAE=∠BDE，
∵∠AED=∠BED，
∴△AED∽△DEB，
∴

AE

DE

=

DE

BE

，
∴

6

DE

=

DE

2

，
解得：DE=2

3

，
在Rt△BED中，tanB=

DE

BE

=

2 3

2

=

3

，
∴∠B=60°，
∴∠CDF=∠EDB=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠F=∠ACB-∠CDF=60°-30°=30°．
（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为4，AB=AC，
∴AC=AB=4+4=8，
∵BE=2，
∴AE=8-2=6，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠DAE=∠BDE，
∵∠AED=∠BED，
∴△AED∽△DEB，
∴

AE

DE

=

DE

BE

，
∴

6

DE

=

DE

2

，
解得：DE=2

3

，
在Rt△BED中，tanB=

DE

BE

=

2 3

2

=

3

，
∴∠B=60°，
∴∠CDF=∠EDB=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠F=∠ACB-∠CDF=60°-30°=30°．