试题

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN·MC=8，求⊙O的直径．

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接MA、MB．（如图）
∵点M是弧AB的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴

AM

NM

=

MC

MA

．
∴AM²=MC·MN．
∵MC·MN=8，
∴AM=2

2

．
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90°，AM=BM=2

2

．
∴AB=

AM2+BM2

=4．
（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接MA、MB．（如图）
∵点M是弧AB的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴

AM

NM

=

MC

MA

．
∴AM²=MC·MN．
∵MC·MN=8，
∴AM=2

2

．
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90°，AM=BM=2

2

．
∴AB=

AM2+BM2

=4．