试题

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，F为垂足．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BE=

1

2

AB=2，求线段AD、AB、弧BD围成的面积．

解：（1）连接OD，BD；
∵AB=BC（已知），
∴∠A=∠C（等边对等角）．
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠A=∠ADO（等边对等角），
∴∠C=∠ADO（等量代换），
∴OD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
又∵DF⊥BC，
∴OD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵BE=

1

2

AB=2，
∴OB=BE=2，
∴OD=OB=

1

2

OE，
∴∠E=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DBA=60°，
∴S_△ABD

1

2

AB·BDsin∠ABD=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，S_扇形OBD=

60π×22

360

=

2π

3

，S_△OBD=

1

2

OB·ODsin∠DOB=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
∴线段AD、AB、弧BD围成的面积=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD=2

3

+

2π

3

-

3

=

3

+

2π

3

．
解：（1）连接OD，BD；
∵AB=BC（已知），
∴∠A=∠C（等边对等角）．
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠A=∠ADO（等边对等角），
∴∠C=∠ADO（等量代换），
∴OD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
又∵DF⊥BC，
∴OD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵BE=

1

2

AB=2，
∴OB=BE=2，
∴OD=OB=

1

2

OE，
∴∠E=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DBA=60°，
∴S_△ABD

1

2

AB·BDsin∠ABD=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，S_扇形OBD=

60π×22

360

=

2π

3

，S_△OBD=

1

2

OB·ODsin∠DOB=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
∴线段AD、AB、弧BD围成的面积=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD=2

3

+

2π

3

-

3

=

3

+

2π

3

．