试题

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，计算⊙O的半径r．

（1）解：AC与⊙O相切．
其理由是：连接OC．
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO．
∵DC∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠COA
∴∠COA=∠BOA．
在△ACO和△ABO中，
∵

OC=OB ∠COA=∠BOA AO=AO

，
∴△ACO≌△ABO（SAS），
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB与⊙O相切，
∴∠ABO=90°，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AC．
∴AE与⊙O相切；

（2）答案不唯一
①选a、b、c
∵AC、AB⊙O的切线
∴AC=AB=c．
∵DC∥AO
∴

EC

AC

=

ED

OD

，
∴

a

c

=

b

OD

，
∴OD=

bc

a

，即r=

bc

a

（10分）
②选a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=

a2-b2

2b

（参照方法①给分）
（1）解：AC与⊙O相切．
其理由是：连接OC．
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO．
∵DC∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠COA
∴∠COA=∠BOA．
在△ACO和△ABO中，
∵

OC=OB ∠COA=∠BOA AO=AO

，
∴△ACO≌△ABO（SAS），
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB与⊙O相切，
∴∠ABO=90°，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AC．
∴AE与⊙O相切；

（2）答案不唯一
①选a、b、c
∵AC、AB⊙O的切线
∴AC=AB=c．
∵DC∥AO
∴

EC

AC

=

ED

OD

，
∴

a

c

=

b

OD

，
∴OD=

bc

a

，即r=

bc

a

（10分）
②选a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=

a2-b2

2b

（参照方法①给分）