试题

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧

AB

上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，BD=2

3

，求出AE的值．

（1）证明：连接OB   如图1
∵AB=AD=AO，
∴∠DBA=∠D，∠ABO=∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠DBA+∠ABO=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：过点B作BH⊥AE于H．如图2，
∵AB=AO，AO=OB，
∴AB=AO=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠C=30°，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥OB，∴∠DBO=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OB，∵DB=2

3

，
∴OB=2，
∴AB=2，
∵∠E=∠C，
∴∠E=30°，
∵∠ABE=105°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH，
设AH=BH=x，
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

，
∴BH=AB·sin45°=2×

2

2

=

2

，
∴AH=

2

，
在Rt△ABH中，BE=2BH=2

2

，
由勾股定理得：HE=

6

，
∴AE=

2

+

6

．
（1）证明：连接OB   如图1
∵AB=AD=AO，
∴∠DBA=∠D，∠ABO=∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠DBA+∠ABO=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：过点B作BH⊥AE于H．如图2，
∵AB=AO，AO=OB，
∴AB=AO=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠C=30°，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥OB，∴∠DBO=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OB，∵DB=2

3

，
∴OB=2，
∴AB=2，
∵∠E=∠C，
∴∠E=30°，
∵∠ABE=105°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH，
设AH=BH=x，
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

，
∴BH=AB·sin45°=2×

2

2

=

2

，
∴AH=

2

，
在Rt△ABH中，BE=2BH=2

2

，
由勾股定理得：HE=

6

，
∴AE=

2

+

6

．