试题

题目：
青果学院如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延长线于H，连CG，分别交AB、AD于M、N．
（1）求证：PA为⊙O的切线．
（2）若AM=2EM，AN=
4
3
2
，OH=5，求⊙O的半径．
答案
青果学院解：（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴CA⊥DA；
又∵OP∥AC，
∴OP⊥AD，
∴OP垂直平分AD（垂径定理）；
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠AOP=∠DOP（等腰三角形“三线合一”）；
在△AOP和△DOP中，
AO=DO
∠AOP=∠DOP
OP=OP(公共边)
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PAO=∠PDO（全等三角形的对应角相等）；
∵PD⊥CD，
∴∠PAO=∠PDO=90°，∴OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

（2）由（1）中的AD⊥OP知，
AG
=
DG
，
∴∠ACG=∠DCG（等弧所对的圆周角相等），
∴
AC
AM
=
CE
ME
，
AC
AN
=
CD
DN
．
由∵AM=2EM（已知），
∴
CE
AC
=
1
2
，
AN
DN
=
1
2
，
∴∠CAE=30°（直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半），
∴∠ACE=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=r，
∴
AC
AN
=
CD
DN
=
r
4
2
3
=
2r
3
r-
4
2
3
，
解得，r=
4
6
3
，即⊙O的半径是
4
6
3
．
青果学院解：（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴CA⊥DA；
又∵OP∥AC，
∴OP⊥AD，
∴OP垂直平分AD（垂径定理）；
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠AOP=∠DOP（等腰三角形“三线合一”）；
在△AOP和△DOP中，
AO=DO
∠AOP=∠DOP
OP=OP(公共边)
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PAO=∠PDO（全等三角形的对应角相等）；
∵PD⊥CD，
∴∠PAO=∠PDO=90°，∴OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

（2）由（1）中的AD⊥OP知，
AG
=
DG
，
∴∠ACG=∠DCG（等弧所对的圆周角相等），
∴
AC
AM
=
CE
ME
，
AC
AN
=
CD
DN
．
由∵AM=2EM（已知），
∴
CE
AC
=
1
2
，
AN
DN
=
1
2
，
∴∠CAE=30°（直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半），
∴∠ACE=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=r，
∴
AC
AN
=
CD
DN
=
r
4
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=
2r
3
r-
4
2
3
，
解得，r=
4
6
3
，即⊙O的半径是
4
6
3
．
考点梳理
切线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OA，欲证PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥PA即可；
（2）AM=2EM，且CM是角平分线，所以AC：CE=2：1，所以∠CAE=30°，ND：AN=2：1，从而可求AD长度，然后解直角三角形即可求得⊙O的直径．
本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题．
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