试题

如图，△AOB中，OA=OB，以O为圆心的圆经过△AOB的边AB的中点C，与OB相交于点D．
（1）求证：⊙O与AB相切．
（2）若⊙O的半径为1，OD=BD，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）解：过B点作BF⊥AO，交AO的延长线于F点．
∵BF⊥AF，OF=OD，DO=BD，
∴∠FBO=30°，
∴∠FOB=60°，
∵AO=BO，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴由题意有AB=2BF，
∵BF=

3

∴AB=2

3

，
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴影=

1

2

（S_△OAB-S_扇形0ED）=

1

2

（2

3

×1÷2-

120π×12

360

）=

3

2

-

π

6

．
（1）证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）解：过B点作BF⊥AO，交AO的延长线于F点．
∵BF⊥AF，OF=OD，DO=BD，
∴∠FBO=30°，
∴∠FOB=60°，
∵AO=BO，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴由题意有AB=2BF，
∵BF=

3

∴AB=2

3

，
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴影=

1

2

（S_△OAB-S_扇形0ED）=

1

2

（2

3

×1÷2-

120π×12

360

）=

3

2

-

π

6

．