试题

如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点，（D不与A、B 重合）以DA为一边作∠DAC，使∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）过点O作OE∥BD交AC于E，交AD于F，且EF=4，AD=6，求BD的长．

解：（1）∵AB是半圆直径，
∴∠BDA=90°．．
∴∠B+∠DAB=90°；
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
∴AC是半圆O的切线；

（2）如图，∵OE∥BD，∠D=90°
∴OE⊥AD，
∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，
AF=

1

2

AD=3，
又∵∠B=∠DAE，
∴△AEF∽△BAD．
∴

EF AD = AF BD

，即

4 6 = 3 BD

，
∴

BD= 9 2

．
解：（1）∵AB是半圆直径，
∴∠BDA=90°．．
∴∠B+∠DAB=90°；
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
∴AC是半圆O的切线；

（2）如图，∵OE∥BD，∠D=90°
∴OE⊥AD，
∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，
AF=

1

2

AD=3，
又∵∠B=∠DAE，
∴△AEF∽△BAD．
∴

EF AD = AF BD

，即

4 6 = 3 BD

，
∴

BD= 9 2

．