试题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？
（2）若点O沿射线CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

（1）解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=

52+122

=13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=

60

13

＞3，
∴⊙O与AB的位置关系是相离．

（2）解：①过O作OD⊥AB于D，当OD=3时，⊙O与AB相切，
∵OD⊥AB，∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴

OD

BC

=

OA

AB

即

3

12

=

AO

13

，
∴AO=

13

4

，
∴OC=5-

13

4

=

7

4

，
②如图
过O作OD⊥BA交BA延长线于D，
则∠C=∠ODA=90°，∠BAC=∠OAD，
∴△BCA∽△ODA，
∴

BC

OD

=

AB

OA

，
∴

12

3

=

13

OA

，
OA=

13

4

，
OC=5+

13

4

=

33

4

答：若点O沿射线CA移动，当OC等于

7

4

或

33

4

时，⊙O与AB相切
（1）解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=

52+122

=13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=

60

13

＞3，
∴⊙O与AB的位置关系是相离．

（2）解：①过O作OD⊥AB于D，当OD=3时，⊙O与AB相切，
∵OD⊥AB，∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴

OD

BC

=

OA

AB

即

3

12

=

AO

13

，
∴AO=

13

4

，
∴OC=5-

13

4

=

7

4

，
②如图
过O作OD⊥BA交BA延长线于D，
则∠C=∠ODA=90°，∠BAC=∠OAD，
∴△BCA∽△ODA，
∴

BC

OD

=

AB

OA

，
∴

12

3

=

13

OA

，
OA=

13

4

，
OC=5+

13

4

=

33

4

答：若点O沿射线CA移动，当OC等于

7

4

或

33

4

时，⊙O与AB相切