试题

（2007·东城区一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4

3

，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，OB，DE相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF：FD的值．

（1）证明：连CD，如图，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=4

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ODA=60°，
又∵AC为直径，
∴∠CDA=90°，即△CDB为直角三角形，
而E点为斜边BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴∠ODE=180°-∠BDE-∠ADO=180°-30°-60°=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连OE，如图，
∵△OAD为等边三角形，
∴AD=OA=2，
∴BD=AB-AD=8-2=6，
在Rt△OEC中，OE=

EC2+OC2

=

(2 3 )2+22

=4，
又∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，
∴EF：FD=OE：BD=4：6=2：3．
（1）证明：连CD，如图，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=4

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ODA=60°，
又∵AC为直径，
∴∠CDA=90°，即△CDB为直角三角形，
而E点为斜边BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴∠ODE=180°-∠BDE-∠ADO=180°-30°-60°=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连OE，如图，
∵△OAD为等边三角形，
∴AD=OA=2，
∴BD=AB-AD=8-2=6，
在Rt△OEC中，OE=

EC2+OC2

=

(2 3 )2+22

=4，
又∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，
∴EF：FD=OE：BD=4：6=2：3．