试题

（2007·潮南区模拟）如图，△ABC中，∠C=30°，AC=4，BC=4

3

，D为BC的中点，以AC为直径作⊙O．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AB于E，求证：DE与⊙O相切．

解：（1）点D在⊙O上．
理由如下：
过O作OF⊥CD于F，连接OD．
在Rt△OCF 中，OC=

1

2

AC=2，∠C=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，CF=

OC2-OF2

=

22-12

=

3，

∵CD=

1

2

BC=2

3

，∴DF=CD-CF=

3

，
在Rt△ODF中，OD=

OF2+DF2

=

12+( 3 )2

=2
∴OD=OC，∴点D在⊙O上．

（2）证明：∵D为BC中点，O为AC中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴⊙O与DE相切．
解：（1）点D在⊙O上．
理由如下：
过O作OF⊥CD于F，连接OD．
在Rt△OCF 中，OC=

1

2

AC=2，∠C=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，CF=

OC2-OF2

=

22-12

=

3，

∵CD=

1

2

BC=2

3

，∴DF=CD-CF=

3

，
在Rt△ODF中，OD=

OF2+DF2

=

12+( 3 )2

=2
∴OD=OC，∴点D在⊙O上．

（2）证明：∵D为BC中点，O为AC中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴⊙O与DE相切．