试题

（2009·台州模拟）在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（1）证明：∵

AM

AB

=

AN

AC

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AM

AB

=

4x

8

∴MN=5x，
∴⊙O的半径r=

5

2

x
可求得圆心O到直线BC的距离d=

48

10

-

12x

5

∵⊙O与直线BC相切
∴

48

10

-

12x

5

=

5

2

x．解得x=

48

49

当x=

48

49

时，⊙O与直线BC相切．（8分）

（3）解：当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．（9分）
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤1时，y=S_△PMN=6x²，
∴当x=1时，y_最大=6×1²=6．（11分）
②当1＜x＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F
MB=8-4x，MP=MA=4x
∴PE=4x-（8-4x）=8x-8
y=S_△MNP-S_△PEF=6x2-6x2(

8x-8

4x

)2=-18(x-

4

3

)2+8（13分）
∴当x=

4

3

时，y_最大=8．
综上所述，当x=

4

3

时，y值最大，最大值是8．（14分）
（1）证明：∵

AM

AB

=

AN

AC

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AM

AB

=

4x

8

∴MN=5x，
∴⊙O的半径r=

5

2

x
可求得圆心O到直线BC的距离d=

48

10

-

12x

5

∵⊙O与直线BC相切
∴

48

10

-

12x

5

=

5

2

x．解得x=

48

49

当x=

48

49

时，⊙O与直线BC相切．（8分）

（3）解：当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．（9分）
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤1时，y=S_△PMN=6x²，
∴当x=1时，y_最大=6×1²=6．（11分）
②当1＜x＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F
MB=8-4x，MP=MA=4x
∴PE=4x-（8-4x）=8x-8
y=S_△MNP-S_△PEF=6x2-6x2(

8x-8

4x

)2=-18(x-

4

3

)2+8（13分）
∴当x=

4

3

时，y_最大=8．
综上所述，当x=

4

3

时，y值最大，最大值是8．（14分）