试题

题目：
青果学院（2011·甘井子区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O，交斜边AC于点D．
（1）若AD=3，AB=5，求BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
答案
青果学院（1）解：连接BD
方法一：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵AD=3，AB=5，
∴BD=4，（2分）
在Rt△ABD中，tan∠ABD=
AD
BD
=
3
4
，
又∵∠ABD=∠ACB，
tan∠ACB=
3
4
=
AB
BC
，（3分）
∴BC=
4·AB
3
=
20
3
，（4分）
方法二：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠DAB=∠BAC，
∴△DAB∽△BAC，（2分）
∴
AD
AB
=
BD
BC
，
∴
AD
AB
=
BD
BC
，
∴
3
5
=
4
BC
，
∴BC=
20
3
；（4分）

（2）证明：
方法一：连接OD，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，（5分）
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，（6分）
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∴ED与⊙O相切．（9分）
方法二：连接OE，OD，
∵是BC的中点，∠BDC=90°，
∴DE=BE，（5分）
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，（6分）
∴∠ODE=∠OBE=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∵D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切．（9分）
青果学院（1）解：连接BD
方法一：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵AD=3，AB=5，
∴BD=4，（2分）
在Rt△ABD中，tan∠ABD=
AD
BD
=
3
4
，
又∵∠ABD=∠ACB，
tan∠ACB=
3
4
=
AB
BC
，（3分）
∴BC=
4·AB
3
=
20
3
，（4分）
方法二：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠DAB=∠BAC，
∴△DAB∽△BAC，（2分）
∴
AD
AB
=
BD
BC
，
∴
AD
AB
=
BD
BC
，
∴
3
5
=
4
BC
，
∴BC=
20
3
；（4分）

（2）证明：
方法一：连接OD，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，（5分）
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，（6分）
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∴ED与⊙O相切．（9分）
方法二：连接OE，OD，
∵是BC的中点，∠BDC=90°，
∴DE=BE，（5分）
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，（6分）
∴∠ODE=∠OBE=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∵D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切．（9分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定．
（1）连接BD，根据AB为直径即可证明∠ADB=∠ABC=90°，证明△DAB∽△BAC，根据相似三角形对应边的比相等即可求解；
（2）证明ED与⊙O相切，即可连接OD证明OD⊥DE即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，以及切线的判定，切线的判定常用的方法是利用切线的判定定理转化为证明垂直的问题．
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